Matematika dikenal sebagai ilmu
deduktif,ini berarti proses pengerjaan matematis harus bersifat deduktif.
Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif),
tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif (umum). Meskipun demikian untuk
membantu pemikiran, pada tahap – tahap permulaan seringkali kita memerlukan
bantuan contoh – contoh atau ilustrasi geometri.
Perlu pula diketahui bahwa baik isi
maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu
pengetahuan alam apalagi dengan ilmu pengetahuan umunya. Metode mencari
kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah imu deduktif, sedangkan oleh ilmu
pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika
mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya
generalisasi yang benar ntuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara
deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu
belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Contohnya dalam ilmu fisika , bila dalam
percobaannya seseorang telah berhasil menunjukkan kepada kita bahwa ketika ia
mengambil sebatang logam kemudian dipanaskan dan memuai, kemudian sebatang
logam lainnya dipanaskan ternyata memuai lagi, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenis – jenis logam
lainya dan ternyata selalu memuai jika
dipanaskan maka ia dapat membuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap
logam yang dipanaskan itu memuai. Generalisasi
yang dibuat secara induktif itu dalam ilmu fisika dibenarkan.
Contoh lainnya misalnya dalam ilmu
biologi yang berdasarkan pada pengamatan dari beberapa binatang menyusui
ternyata selalu melahirkan, sehingga kita bisa membuat generalisasi secara
induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah melahirkan.
Kedua contoh dalam ilmu fisika dan ilmu
biologi seperti di atas tersebut, secara matematika belum dapat dianggap
sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh – contoh seperti itu baru dapat
dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara
deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa
contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika.
Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah
dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh
:
Buktikan
bahwa untuk sebarang himpunan A,B dan C berlaku ( A B
) C = A ( B C) !
Jika
kita membuktikan ini dengan menggunakan contoh – contoh, misalkan S adalah himpunan
bilangan asli dengan :
A
= {4,8,12,16,20}
B
= {5,10,15,20} dan
C
= {8,10,12,14,16,18,20}
Maka : (
A B
) = {20}
(
B C
) = {10,20}
(
A B
) C = {20}
A
( B C) = {20}
Dengan demikian terbukti bahwa ( A B
) C = A ( B C)
Namun kebenaran contoh
ini tidak diakui sebagai landasan untuk menerima kebenaran generalisasi
ini sekalipun telah diberikan contoh
sebanyak mungkin. Kebenaran ini baru akan diakui jika dilalukan pembuktian secara dedukti sebagai berikut :
Bukti :
Pembuktian ini didasarkan pada defenisi
kesamaan dari dua himpunan, yang berarti harus di buktikan bahwa ( A B
) C A ( B C) dan A ( B C) ( A B
) C
v Pembuktian
( A B
) C A ( B C)
Misalkan : x ( A B
) C berarti x ( A B
) dan x C
x
( A B
) berarti x A dan x B
Sehingga
x A, x B dan x C
x B dan x C berarti x ( B C
)
Maka x A dan x ( B C
) berarti x A (
B C
)
Jadi terbukti bahwa ( A B
) C A ( B C)
v Pembuktian
A ( B C) ( A B
) C
Misalkan : x A ( B C) berarti x A dan x ( B C
)
x ( B C
) berarti x B dan x C
Sehingga
x A, x B dan x C
x A dan x B berarti x ( A B
)
Maka x ( A B
) dan x C berarti x ( A B
) C
Jadi terbukti bahwa A ( B C) ( A B
) C
Karena telah terbukti secara deduktif
maka kebenaran generalisasi tersebut dapat diterima.
Dari uraian – uraian
diatas dapat disimpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang
tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi
generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
Mungkin anda
bertanya, bukalah dalil - dalil / sifat- sifat / rumus –rumus dalam
matematika itu ditemukan secara induktif (coba-coba, eksperimen, penilitian dan
lain-lain). Memang betul, para matematisi itu menemukan (menyusun) matematika atau bagiannya itu secara induktif,
tetapi begitu suatu pola, aturan, dalil, rumus yang merupakan generalisasi itu
ditemukan, maka generalisasi itu harus dapat dibuktikan kebenarannya secara
umum (deduktif).