Matematika Sebagai Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif,ini berarti proses pengerjaan matematis harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif (umum). Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap – tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh – contoh atau ilustrasi geometri.

Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam apalagi dengan ilmu pengetahuan umunya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah imu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar ntuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Contohnya dalam ilmu fisika , bila dalam percobaannya seseorang telah berhasil menunjukkan kepada kita bahwa ketika ia mengambil sebatang logam kemudian dipanaskan dan memuai, kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai lagi, dan seterusnya  mengambil beberapa contoh jenis – jenis logam lainya dan ternyata selalu memuai  jika dipanaskan maka ia dapat membuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai.  Generalisasi yang dibuat secara induktif itu dalam ilmu fisika dibenarkan.

Contoh lainnya misalnya dalam ilmu biologi yang berdasarkan pada pengamatan dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan, sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah melahirkan.

Kedua contoh dalam ilmu fisika dan ilmu biologi seperti di atas tersebut, secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh – contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh :

Buktikan bahwa untuk sebarang himpunan A,B dan C berlaku ( A   B ) C = A ( B C) !

Jika kita membuktikan ini dengan menggunakan contoh – contoh, misalkan S adalah himpunan bilangan asli dengan :

A = {4,8,12,16,20}

B = {5,10,15,20} dan

C = {8,10,12,14,16,18,20}

Maka :    ( A   B ) = {20}

               ( B   C ) = {10,20}

               ( A   B ) C = {20}

               A ( B C) = {20}

Dengan demikian terbukti bahwa ( A   B ) C = A ( B C)

Namun kebenaran contoh ini tidak diakui sebagai landasan untuk menerima kebenaran generalisasi ini  sekalipun telah diberikan contoh sebanyak mungkin. Kebenaran ini baru akan diakui jika dilalukan pembuktian  secara dedukti sebagai berikut :

Bukti :

Pembuktian ini didasarkan pada defenisi kesamaan dari dua himpunan, yang berarti harus di buktikan bahwa ( A   B ) C  A ( B C) dan A ( B C) ( A   B ) C

v Pembuktian ( A   B ) C  A ( B C)

Misalkan :       x  ( A   B ) C berarti x  ( A   B ) dan x  C

                        x  ( A   B ) berarti x  A dan x  B

                        Sehingga x  A, x  B dan x  C

                        x  B dan x  C berarti x  ( B   C )

Maka x  A dan x  ( B   C ) berarti x  A  ( B   C )

Jadi terbukti bahwa ( A   B ) C  A ( B C)

v Pembuktian A ( B C)  ( A   B ) C

Misalkan :       x  A ( B C) berarti x  A dan x  ( B   C )

                        x  ( B   C ) berarti x  B dan x  C

                        Sehingga x  A, x  B dan x  C

                        x  A dan x  B berarti x  ( A   B )

Maka x  ( A   B ) dan x  C berarti x  ( A   B ) C

Jadi terbukti bahwa A ( B C) ( A   B ) C

Karena telah terbukti secara deduktif maka kebenaran generalisasi tersebut dapat diterima.

Dari uraian – uraian diatas dapat disimpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.

Mungkin  anda  bertanya, bukalah dalil - dalil / sifat- sifat / rumus –rumus dalam matematika itu ditemukan secara induktif (coba-coba, eksperimen, penilitian dan lain-lain). Memang betul, para matematisi itu menemukan (menyusun)  matematika atau bagiannya itu secara induktif, tetapi begitu suatu pola, aturan, dalil, rumus yang merupakan generalisasi itu ditemukan, maka generalisasi itu harus dapat dibuktikan kebenarannya secara umum (deduktif).